Question

高等数学 解题

求 单调区间和极值点
1 y=3x^2+6x+5
2 y=x-e^x
3 y=x^2/(1+x^2)
4 y=2x^2-lnx

求极值点和极值
1 y=x^3-3x^2+7
2 y=2x/(1+x^2)
3 y=x^2e^(-x)
4 y=(x-1)x^(2/3)

有简单过程 有分的

Answer 1

1、y=3x^2+6x+5
对函数求导得：y’=6x+6，令其等于0，解得x＝-1，易知在（－无穷大，－1）区间y’＜0，函数单调递减，在（－1，+无穷大）区间y’＞0，函数单调递增，明显在x=－1处函数取得极小值y=2。
2、y=x-e^x
对函数求导得：y’=1－e^x，令其等于0，解得x＝0，易知在（－无穷大，0）区间y’＞0，函数单调递增，在（0，+无穷大）区间y’ ＜0，函数单调递减，明显在x=0处函数取得极大值y=-1。
3、y=x^2/(1+x^2)
对函数求导得：y’=2x/(1+x^2)^2,令其＝0，得x=0，判断知在（-无穷大，0），y’ ＜0，在（0，+无穷大）y’＞0，因此函数在x=0出取得极小值。
4、y=2x^2-lnx
对函数求导得：y’=(4x^2-1)/x，令其＝0并考虑其定义域，得：x=-1/2,x=0,x=1/2，判断知函数在（－无穷大，-1/2）＜0，在（-1/2，0）＞0，在（0，1/2）＜0，在（0，+无穷大）＞0。其极大值点在x=0点， x＝1/2、=-1/2为极小值点。
1、y=x^3-3x^2+7
对函数求导得：y’=3x^2-6x，令其＝0，得解x=0,x=2，判断知函数在x=0取得极大值y=7，在x=2取得极小值y=3。
2、y=2x/(1+x^2)
对函数求导得：y’=2（1－x^2）/（1+x^2）^2, 令其＝0，得解x=-1,x=1，判断知函数在x=-1取得极小值y=-1，在x=1取得极大值y=1。
3、y=x^2e^(-x)
对函数求导得：y’=x(2-x)e^(-x)，令其＝0，解得x=0,x=2，判断易知在x=0函数取得极小值y=0，在x=2函数取得极大值y=4 e^(-x)。
4、y=(x-1)x^(2/3)
对函数求导得：y’=（5/3）*x^(2/3)-(2/3)x^(-1/3)，令其＝0，同时考虑y’的定义域，得出x=0,x=2/5两个拐点。判断易知在x=0函数取得极大值y=0，在x=2/5函数取得极小值y=-(3/5)*(2/5)^(2/3)。