Question

已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R)

已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R),给出下面四个命题:
(1)f(x)为奇函数的充要条件是q=0
(2)f(x)的图像关于点(0，q)对称
(3)当p=0时,方程f(x)=0的解集一定非空
(4)方程f(x)=0的解的个数一定不超过2
其中所有正确命题的序号是___ (答案1,2,3)
详细解释一下,谢谢

Answer 1

(1)若f(x)为奇函数，则f(0)=q=0，
反之若q=0，f(x)=x|x|+px为奇函数，
所以(1)正确.
(2)y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，
把y=x|x|+px图象上下平移可得f(x)=x|x|+px+q
图象，易得f(x)的图像关于点(0，q)对称.
(3)当p=0时,x=0一定是方程f(x)=0的解.
(4)q=0，p=1时方程f(x)=0的解为x=0或x=1或x=-1，3个.