Question

计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0～n-1中的任意

计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0～n-1中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是（　　） A． 1 10 4 B． 1 10 5 C． 1 10 6 D． 1 10 7

Answer 1

若计算器上显示n的时候按下按键，因此共有0～n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是 1 n ． 如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了a 1 ，a 2 ，…，a n ，则概率为 1 2011 × 1 a 1 × 1 a 2 ×…× 1 a n × 1 999 × 1 99 × 1 9 ， 所以所求概率为 p=∑ 1 2011 × 1 a 1 × 1 a 2 ×…× 1 a n × 1 999 × 1 99 × 1 9 = 1 2011 (1+ 1 2010 )(1+ 1 2009 )…(1+ 1 1000 )× 1 999 ×(1+ 1 998 )… (1+ 1 100 )× 1 99 ×(1+ 1 98 )…(1+ 1 10 )× 1 9 ×(1+ 1 8 )…(1+1) 注意到 1= 1 2011 (1+ 1 2010 )(1+ 1 2009 )…(1+ 1 1000 )×(1+ 1 999 )×(1+ 1 998 )…(1+1) 两式相除即得 p= 1 1000 × 1 100 × 1 10 = 1 10 6 ． 故选C．