Question

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；（2）当m=- 1 2 时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合）试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）， 得： y-1 x ? y+1 x =m ，化简得：-mx 2 +y 2 =1（x≠0）． 当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点； 当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，-1）两点； 当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点； 当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，-1）两点． （2）当m=- 1 2 时，曲线E的方程为 x 2 2 + y 2 =1(x≠0) ． 由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x-1）， 再设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），Q（x 2 ，-y 2 ）（x 1 ≠x 2 ）． 联立 y=k(x-1) x 2 2 + y 2 =1 ，得（1+2k 2 ）x 2 -4k 2 x+2k 2 -2=0． ∴ x 1 + x 2 = 4 k 2 1+2 k 2 ， x 1 x 2 = 2 k 2 -2 1+2 k 2 ， ∵M，Q不重合，则x 1 ≠x 2 ，y 1 ≠-y 2 ． ∴MQ所在直线方程为 y- y 1 = y 1 + y 2 x 1 - x 2 (x- x 1 ) ， 令y=0，得 x= x 1 + y 1 ( x 2 - x 1 ) y 1 + y 2 = x 1 + k( x 1 -1)( x 2 - x 1 ) k( x 1 + x 2 -2) = 2 x 1 x 2 -( x 1 + x 2 ) x 1 + x 2 -2 = 2? 2 k 2 -2 1+2 k 2 - 4 k 2 1+2 k 2 4 k 2 1+2 k 2 -2 =2 ． ∴直线MQ过定点（2，0）．