Question

已知各项均正的数列{a n }的前n项和为S n ，且2S n = 1 2 （a n 2 +a n ）（1）求{a n }的通

已知各项均正的数列{a n }的前n项和为S n ，且2S n = 1 2 （a n 2 +a n ）（1）求{a n }的通项公式（2）设数列b n = 1 a n a n+2 ，求数列{b n }的前n项的和T n ．

Answer 1

（1）∵2S n = 1 2 （a n 2 +a n ），2S n+1 = 1 2 （a n+1 2 +a n+1 ） ∴两式相减可得（a n+1 +a n ）（a n+1 -a n -1）=0， ∵数列{a n }各项均正， ∴a n+1 -a n =1， ∴{a n }是以1为公差的等差数列， ∵2S 1 = 1 2 （a 1 2 +a 1 ）， ∴a 1 =1 ∴a n =n； （2）b n = 1 2 （ 1 n - 1 n+2 ） ∴T n = 1 2 (1- 1 3 + 1 2 - 1 4 +…+ 1 n - 1 n+2 ) = 1 2 （ 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 ）= n(3n+5) 2(n+1)(n+2) ．