Question

已知 为空间的一个基底，且 ， ， ， （1）判断 四点是否共面；（2）能否以 作为空间的一个基底

已知 为空间的一个基底，且 ， ， ， （1）判断 四点是否共面；（2）能否以 作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

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Answer 1

（1）四点不共面；  （2） ．

本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。 （1）假设四点共面，则存在实数 使 ， 且 ，那么可以根据这个结论得到方程组，求解判定不成立。 （2）利用不同面的三个向量可以充当空间的基底，那么我们可以得到，判定 解：（1）假设四点共面，则存在实数 使 ， 且 ， 即 ．…4分 比较对应的系数，得一关于 的方程组 解得 与 矛盾，故四点不共面；……………6分 （2）若向量 ， ， 共面，则存在实数 使 ， 同（1）可证，这不可能， 因此 可以作为空间的一个基底， 令 ， ， ， 由 ， ， 联立得到方程组， 从中解得 ………………10分所以