Question

设f（x）在x=a处连续，φ（x）在x=a处间断，又f（a）≠0，则（　　）A．φ[f（x）]在x=a处间断B．f[φ（x

设f（x）在x=a处连续，φ（x）在x=a处间断，又f（a）≠0，则（　　）A．φ[f（x）]在x=a处间断B．f[φ（x）]在x=a处间断C．[φ（x）]2在x=a处间断D．φ(x)f(x)在x=a处间断

Answer 1

选项D正确，可以用反证法进行证明：
假设

φ(x)

f(x)

在x=a处不间断，即

φ(x)

f(x)

在x=a处连续，
则

lim

x→a

φ(x)

f(x)

存在，且

lim

x→a

φ(x)

f(x)

=

φ(a)

f(a)

．
从而，

lim

x→a

φ(x)=

lim

x→a

φ(x)

f(x)

lim

x→a

f(x)=

φ(a)

f(a)

f（a）=φ（a），
故φ（x）在x=a处连续，与已知条件矛盾，
故

φ(x)

f(x)

在x=a处间断．
选项A、B、C均不正确．
A的反例：取f（x）=1，φ（x）=sgnx 在x=0处间断，但φ[f（x）]=1 在x=0处连续．
B的反例：取f（x）=1，φ（x）=sgnx 在x=0处间断，但f[φ（x）]=1 在x=0处连续．
C的反例：取φ（x）=

1，  x≥0 ?1， x＜0

 在x=0处间断，但[φ（x）]²=1在x=0处连续．
综上，正确选项为：D．
故选：D．