Question

已知函数f（x）=1?xax+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x

已知函数f（x）=1?xax+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=

1?x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

?ax?(1?x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x?a

a2x2

，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=

a2x?a

a2x2

≥0恒成立，即a²x-a=a（ax-1）≥0恒成立，
若a＞0时，则等价为ax≥1，即a≥1，
若a＜0时，则等价为ax≤1，则a≤

1

x

，则a＜0，
综上所述：a∈（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）f′（x）=

?ax?(1?x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x?a

a2x2

=

ax?1

ax2

，定义域为（0，+∞），
当a＜0时，ax²＜0，ax-1＜0，此时f′（x）=

ax?1

ax2

＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不可能有两个零点．
当a＞0时，令f′（x）=

ax?1

ax2

=0，解得x=

1

a

，则f（x）在（0，

1

a

）上为减函数，
在（

1

a

，+∞）上为增函数，
即f（

1

a

）=

1? 1 a

a? 1 a

+ln

1

a

=1-

1

a

-lna＜0即可，
令g（a）=1-

1

a

-lna，则g′（a）=