Question

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，求双曲线的离心率的范围．

Answer 1

根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

无意义．
因为在△PF₁F₂中，由正弦定理得

PF1

sin∠PF2F1

=

PF2

sinPF1F2

．
又由已知，得

a

|PF2|

＝

c

|PF1|

，即|PF₁|=

c

a

|PF₂|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，则

c

a

|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=

2a2

c?a

，由双曲线的几何性质，知
|PF₂|＞c-a，则

2a2

c?a

＞c-a，即c²-2ac-a²＜0，∴e²-2e-1＜0，解得-

2

+1＜e＜

2

+1，
又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，

2

+1）．