Question

已知函数f(x)＝1+lnxx（1）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+34）上存在极值，求实数k的取值范围（2）如果

已知函数f(x)＝1+lnxx（1）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+34）上存在极值，求实数k的取值范围（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式f(x)≤ax+2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝

1+lnx

x

，
∴f′(x)＝

1+lnx

x

，
由f′(x)＝

?lnx

x2

＝0，得x=1，
由条件

k＜1 k＞0 k+ 3 4 ＞1

，
解得

1

4

＜k＜1．
（2）∵a≥

(x+2)(1+lnx)

x

=（1+

2

x

）（1+lnx），
设g（x）=（1+

2

x

）（1+lnx），
g′(x)＝

x?2lnx

x2

，
再设h（x）=x-2lnx，h′(x)＝1?

2

x

≥0，
∴h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）增．
∴g（x）≥g（2）=2（1+ln2），
∴a≥2+2ln2．