Question

已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的

已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则f′(x)＝1+

1

x

，---（1分）
所以f′（1）=2，且f（1）=1，------------------------（3分）
所以切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0-------------------（5分）
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得f′(x)＝1+

1

x

=

x+1

x

，-----（6分）
∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立-----（8分）
∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值---------（9分）
（Ⅲ）由题意得，f′(x)＝1+

a

x

＝

x+a

x

（x＞0）-----------------------------（10分）
当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；-----（11分）
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

x	（0，a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

------------------------------------（13分）
综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（-a，+∞），减区间是（0，a）．-------（14分）