Question

已知函数f(x)＝ cos²x+2√3sinxcos-sin²x。 求f(x)的最小正周期和值域

已知函数f(x)＝ cos²x+2√3sinxcos-sin²x。
求f(x)的最小正周期和值域
在三角形ABC中角ABC所对边为abc，若f(A/2)＝2且a²＝bc，试判断三角形ABC的形状

Answer 1

f(x) = cos²x+2√3sinxcosx-sin²x

= 2√3sinxcosx + cos²x-sin²x
= √3sin2x + cos2x
= 2(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6)
= 2sin(2x+π/6)
最小正周期 T= 2π/2 = π
值域【-2，2】

f(A/2) = 2sin(A+π/6) = 2
sin(A+π/6) = 1
A+π/6 = π/2
A = π/3
cosA = 1/2
a²=bc
又，根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc*1/2 = b²+c²-bc
∴b²+c²-bc=bc
(b-c)²=0
b=c
有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形
∴△ABC为等边三角形