Question

已知函数 f(x)= 1+lnx x ．（Ⅰ）若函数在区间 (a，a+ 1 2 ) （其中a＞0）上存在极值

已知函数 f(x)= 1+lnx x ．（Ⅰ）若函数在区间 (a，a+ 1 2 ) （其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式 f(x)≥ k x+1 恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证[（n+1）！] 2 ＞（n+1）?e n-2 （n∈N * ）．

Answer 1

（Ⅰ）因为 f(x)= 1+lnx x ，x＞0，则 f′(x)=- lnx x 2 ， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0． 所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减， 所以函数f（x）在x=1处取得极大值． 因为函数f（x）在区间 (a，a+ 1 2 ) （其中a＞0）上存在极值， 所以 a＜1 a+ 1 2 ＞1 ，解得 1 2 ＜a＜1 ． （Ⅱ）不等式 f(x)≥ k x+1 ， 即为 (x+1)(1+lnx) x ≥k ，记 g(x)= (x+1)(1+lnx) x ， 所以 g′(x)= [(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx) x 2 = x-lnx x 2 ， 令h（x）=x-lnx，则 h′(x)=1- 1 x ，∵x≥1，∴h′（x）≥0． ∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）] min =h（1）=1＞0， 从而g′（x）＞0 故g（x）在[1，+∞）上也单调递增， ∴[g（x）] min =g（1）=2，所以k≤2 （3）由（2）知： f(x)＞ 2 x+1 恒成立， 即 lnx≥ x-1 x+1 =1- 2 x+1 ＞1- 2 x ， 令x=n（n+1），则 ln[n(n+1)]＞1- 2 n(n+1) ， 所以 ln(1×2)＞1- 2 1×2 ， ln(2×3)＞1- 2 2×3 ， ln(3×4)＞1- 2 3×4 ， ln[n(n+1)]＞1- 2 n(n+1) ． 叠加得：ln[1×2 2 ×3 2 × n 2 ×(n+1)]＞n-2[ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 n(n+1) ] = n-2(1- 1 n+1 )＞n-2+ 1 n+1 ＞n-2 则1×2 2 ×3 2 ×n 2 ×（n+1）＞e n-2 ， 所以[（n+1）！] 2 ＞（n+1）?e n-2 （n∈N * ）