Question

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．

Answer 1

（1）∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积= 1 2 AC?BD=40． （2）分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （3分） ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO= 1 2 AC=5，BO=DO= 1 2 BD=4． 在Rt△AOE中，sin∠AOE= AE AO ， ∴AE=AO?sin∠AOE=AO×sin60°=5× 3 2 = 5 3 2 ． （4分） ∴S △AOD = 1 2 OD?AE= 1 2 ×4× 3 2 ×5=5 3 ．（5分） ∴四边形ABCD的面积S=4S △AOD =20 3 ． （6分） （3）如图所示，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （7分） 在Rt△AOE中，sin∠AOE= AE AO ， ∴AE=AO?sin∠AOE=AO?sinθ． 同理可得 CF=CO?sin∠COF=CO×sinθ． （8分） ∴四边形ABCD的面积 S=S △ABD +S △CBD = 1 2 BD?AE+ 1 2 BD?CF = 1 2 BDsinθ（AO+CO） = 1 2 BD?ACsinθ = 1 2 absinθ．