Question

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， 又∵∠CBD=∠BA， ∴∠ABC+∠CBD=90°， ∴∠ABD=90°， ∴OB⊥BD， ∴BD为⊙O的切线； （2）证明：连CE、OC，BE，如图， ∵OE=ED，∠OBD=90°， ∴BE=OE=ED， ∴△OBE为等边三角形， ∴∠BOE=60°， 又∵AC∥OD， ∴∠OAC=60°， 又∵OA=OC， ∴AC=OA=OE， ∴AC∥OE且AC=OE， ∴四边形OACE是平行四边形， 而OA=OE， ∴四边形OACE是菱形； （3）解：∵CF⊥AB， ∴∠AFC=∠OBD=90°， 而AC∥OD， ∴∠CAF=∠DOB， ∴Rt△AFC∽Rt△OBD， 又∵FG∥BD， ∴△AFG∽△ABD，