Question

如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E。 （1）求证: DE是⊙O的切线；（2）若 , D

如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E。 （1）求证: DE是⊙O的切线；（2）若 , DE="6," 求⊙O的直径。

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）8 .

试题分析：（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DE． （2）由∠C的余弦值得到∠C的度数，接着可得到三角形BOD是等边三角形，由此得三角形ABC也是等边三角形．求出DC就可得到AB． 试题解析：（1）证明：如图，连接OD； ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°． ∵O为AB中点，D为BC中点， ∴OD为△ABC的中位线． ∴OD∥AC． ∴∠ODE=∠DEC=90°． 即OD⊥DE． ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线． ∵ ， ∴∠C=60°． ∵OD∥AC， ∴∠BDO=∠C=60°． ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB=60°． ∴△ABC为等边三角形． ∵在△EDC中，∠DEC=90°，DE=6， ∴DC＝4 ∵D为BC中点， ∴BC＝2DC＝8 ． ∴AB=8 ． ∴⊙O的直径为8 考点: 切线的判定．