Question

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一点，且CD⊥平面PAB． （1）求证：AB⊥

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一点，且CD⊥平面PAB． （1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

Answer 1

（1）见解析；（2） .

试题分析：（1）主要考虑证明AB垂直于平面PCB内的两条相交直线.根据PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，得到PC⊥AB.根据CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，得到OC⊥AB.因此AB平面PCB. （2）有两种思路， 一是“几何法”，通过“一作，二证，三计算”确定异面直线PA与BC所成的角为 . 二是“向量法”，以B为原点，建立如图所示的坐标系.通过确定向量的坐标 利用 得到异面直线AP与BC所成的角为   试题解析：解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴PC⊥AB.      2分 ∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，∴OC⊥AB.   3分 又PC CD=C，∴AB平面PCB.     4分 （2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF. 则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.      5分 由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF. 由三垂线定理，得PF⊥AF。 则AF=CF= 在Rt△PFA中，            ∴异面直线PA与BC所成的角为 .      12分 解法二：（1）同解法一. （2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC，可求得BC= 以B为原点，建立如图所示的坐标系. 则A（0， ，0），B（0，0，0），C（ ，0，0），P（ ，0，2）.      8分 则 ∴异面直线AP与BC所成的角为      12分