Question

（2013?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=1x，在l上取一点A1，过A1作x轴

（2013?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=1x，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=______，a2013=______；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是______．

Answer 1

当a₁=2时，B₁的纵坐标为

1

2

，
B₁的纵坐标和A₂的纵坐标相同，则A₂的横坐标为a₂=-

3

2

，
A₂的横坐标和B₂的横坐标相同，则B₂的纵坐标为b₂=-

2

3

，
B₂的纵坐标和A₃的纵坐标相同，则A₃的横坐标为a₃=-

1

3

，
A₃的横坐标和B₃的横坐标相同，则B₃的纵坐标为b₃=-3，
B₃的纵坐标和A₄的纵坐标相同，则A₄的横坐标为a₄=2，
A₄的横坐标和B₄的横坐标相同，则B₄的纵坐标为b₄=

1

2

，
即当a₁=2时，a₂=-

3

2

，a₃=-

1

3

，a₄=2，a₅=-

3

2

，
b₁=

1

2

，b₂=-

2

3

，b₃=-3，b₄=

1

2

，b₅=-

2

3

，
∵

2013

3

=671，
∴a₂₀₁₃=a₃=-

1

3

；
点A₁不能在y轴上（此时找不到B₁），即x≠0，
点A₁不能在x轴上（此时A₂，在y轴上，找不到B₂），即y=-x-1≠0，
解得：x≠-1；
综上可得a₁不可取0、-1．
故答案为：-

3

2

；-

1

3

；0、-1．