Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C的路线向终点C运动，连结DP交AC于点Q，

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C的路线向终点C运动，连结DP交AC于点Q，连结BQ．（1）如图1，当点P在AB边上运动时．①求证：△ADQ≌△ABQ；②若AP=n，当n为何值时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的16．（2）如图1、2，若记点P运动所经过的路程为x，求使得△BPQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

解答：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AB＝AD ∠DAQ＝∠BAQ AQ＝AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

②解：若S_△ADQ=

1

6

S_{正方形ABCD}，S_△ADQ=

1

3

S_△ACD，
则AQ：AC=1：3，AQ：CQ=1：2，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴AP：CD=AQ：CQ=1：2，
∵CD=1，
∴AP=

1

2

，
∴n=

1

2

，
∴当n=

1

2

时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

．

（2）解：①当点P在边AB上时，
∵∠BPQ＞90°，要使△BPQ为等腰三角形，必须PB=PQ
∴∠PBQ=∠PQB，
∴∠APQ=2∠ABQ=2∠ADQ
∴2∠ADQ+∠ADQ=90°
∴∠ADQ=30°
∴AP=x=

3

3

；
②当点P在BC边上时，由①易知CP=

3

3

，
∴x=2?

3

3

；
综上①②，当x=

3

3

或2?

3

3

时，△BPQ为等腰三角形．