Question

如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N

如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N．（1）求证：AE2=BN?EN；（2）如果AD经过圆心O，且AE=EC，求∠AFC的度数．

Answer 1

解答：解：（1）过O作OP⊥MN交MN与P，
根据垂径定理可知P是MN，BE的中点，即MB=NE，
同理可得AB=CD，
∵AF切小圆于E，
∴AE²=AB?AC．
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴AE²=AB?AC=AB?BD．
又∵AB?BD=BM?BN，MB=NE，
∴AB?BD=BM?BN=EN?BN．
∴AE²=EN?BN．

（2）连接OE，则OE⊥AF，

∴AE=EF；
∵AE=EC，
∴AE=EF=EC，
∴△ACF是直角三角形；
∴∠ACF=90°．
故可得出FC是小圆的切线，
∴FE=FC=AE=EC，即△EFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°．