Question

已知二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x＝?12．（Ⅰ）求函数f（x）的解析

已知二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x＝?12．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）-x2-13]?|x|，求g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x＝?

1

2

，
∴b=1； 
又f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），
∴1+b+c=13，∴c=11；
∴f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．
（Ⅱ）∵函数g（x）=[f（x）-x²-13]?|x|
=[（x²+x+11）-x²-13]?|x|
=（x-2）?|x|
=

(x?1)2?1，(x≥0) ?(x?1)2+1，(x＜0)

，
画出函数图象，如图；
∴当1≤t＜2时，g（x）_min=t²-2t；
当1?

2

≤t＜1时，g（x）_min=-1；
当t＜1?

2

时，g(x)min＝?t2+2t．
∴综上，H（t）=

t2?2t，(1≤t＜2) ?1，(1? 2 ≤t＜1) ?t2+2t，(t＜1? 2 )

．