Question

急！！！！ 数学题

函数f(x)的定义域为（0，+∞），对于任意的正实数m,n,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，当x＞1时，f(x)＜0.
（1）证明f(x)在（0，+∞）上是减函数
（2）当f(2)=1时，解不等式f（x）+f(x-3)＞2

Answer 1

1.设0<x1<x2,那么x2/x1>1,
f(x2/x1)<0,
f(x2/x1)+f(x1)=f(x2),
即f(x2)-f(x1）=f(x2/x1)<0
由定义f(x)是（0，+∞）上是减函数
2.f（x）+f(x-3)＞2
f（x）+f(x-3)＞f(2)+f(2)
f(x(x-3))>f(2x2)
x(x-3)<4
-1<x<4

Answer 2

1. 对任意0<x1<x2,有
f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1)于是有
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
因x2>x1>0,帮x2/x1>1.所以 f(x2/x1)<0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以 f(x)在定义域内单调递减
2. f(x)+f(x-3)>2 等价于
f(x(x-3))>f(2)+f(2) 等价于
f(x(x-3))>f(4) 因f(x)单调递减而等价于
x(x-3)>4 等价于x>4
注：虽然从逻辑上可以得出上述答案，但此题是有问题的。
由f(1*1)=f(1)+(1)可得f(1)=0,而f(x)单调递减，故x>1时，f(x)<0,所以
不存在f(2)=1.

Answer 3

1. 对任意0<x1<x2,有
f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1)于是有
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
因x2>x1>0,帮x2/x1>1.所以 f(x2/x1)<0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以 f(x)在定义域内单调递减
2. f(x)+f(x-3)>2 等价于
f(x(x-3))>f(2)+f(2) 等价于
f(x(x-3))>f(4) 因f(x)单调递减而等价于
x(x-3)>4 等价于x>4
注：虽然从逻辑上可以得出上述答案，但此题是有问题的。
由f(1*1)=f(1)+(1)可得f(1)=0,而f(x)单调递减，故x>1时，f(x)<0,所以
不存在f(2)=1.
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