∫(√1+x2)÷xdx用换元法求该积分
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解：∫[√(1+x²)/x]dx=∫dz/(sinz*cos²z) (令x=tanz,则sinz=x/√(1+x²),cosz=1/√(1+x²),再化简)
=∫sinzdz/(sin²z*cos²z)
=-∫d(cosz)/[(1-cos²z)cos²z]
=∫[-1/cos²z-(1/2)/(1+cosz)-(1/2)/(1-cosz)]d(cosz)
=1/cosz-(1/2)[ln(1+cosz)-ln(1-cosz)]+C (C是积分常数)
=1/cosz-(1/2)ln[(1+cosz)/(1-cosz)]+C
=1/cosz-ln│(1+cosz)/sinz│+C
=√(1+x²)+ln[│x│/(1+√(1+x²))]+C。
=∫sinzdz/(sin²z*cos²z)
=-∫d(cosz)/[(1-cos²z)cos²z]
=∫[-1/cos²z-(1/2)/(1+cosz)-(1/2)/(1-cosz)]d(cosz)
=1/cosz-(1/2)[ln(1+cosz)-ln(1-cosz)]+C (C是积分常数)
=1/cosz-(1/2)ln[(1+cosz)/(1-cosz)]+C
=1/cosz-ln│(1+cosz)/sinz│+C
=√(1+x²)+ln[│x│/(1+√(1+x²))]+C。
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