Question

高一函数题已知函数f(x)，对任意x1,x2∈R，

已知函数f(x)，对任意x1,x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1

问：令F(x)=a [f(x)]^2-2f(x) (a后面那堆是a的指数，就是a的 [f(x)]^2-2f(x)次方)
(a＞0且a≠1)，求F(x)在(0，正无穷)上的最值
已知偶函数f(x)，对任意x1,x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1

Answer 1

(^2表示平方)

"恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1"，则
当x1=0,x2=x时
f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)+1
所以 f(0)=-1
当x1=-x2=x时
f(0)=f(x)+f(x)+2x^2+1
-1=2f(x)+2x^2+1
∴f(x)=-x^2-1
∴f(x)的最大值=-1,没有最小值

设m=[f(x)]^2-2f(x)=[f(x)]^2-2f(x)+1-1=[f(x)-1]^2+1
则f(x)=-1时，m有最小值=5

F(x)=a^m>0
当0<a<1时，是减函数，则F(x)最值=F(m)最大值=a^5
当a>1时，是增减函数，则F(x)最值=F(m)最小值=a^5
当a=1时，F(x)=常数=1

Answer 2

f(x)是偶函数吧？
因为f(x)对任意x1,x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1，

令x1=0,x2=x，则 f(x+0)=f(x)+f(0)+1， 即 ：f(0)=-1

再令x1=-x2=x f(0)=f(x)+f(x)+2x^2+1 ，-1=f(x)+f(-x）-2x^2+1 ，

又f(x)是偶函数,∴-1=2f(x)-2x^2+1 ∴ f(x)=x^2-1,

设t=[f(x)]^2-2f(x), 则 t=[f(x)-1]^2-1 ,t无最大值 ,

当 f(x)=1时,t有最小值-1(此时x=±√2),，即t∈[-1,+∞).

所以由指数函数的单调性可知：

当 a＞1时，F(x)=a ^{[f(x)]^2-2f(x)}=a^t 有最小值1/a

当 0＜a＜1时 ，F(x)=a ^{[f(x)]^2-2f(x)}=a^t 有最大值1/a

Answer 3

(^2表示平方)

"恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1"，则
当x1=0,x2=x时
f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)+1
所以 f(0)=-1
当x1=-x2=x时
f(0)=f(x)+f(x)+2x^2+1
-1=2f(x)+2x^2+1
∴f(x)=-x^2-1
∴f(x)的最大值=-1,没有最小值

设m=[f(x)]^2-2f(x)=[f(x)]^2-2f(x)+1-1=[f(x)-1]^2+1
则f(x)=-1时，m有最小值=5

F(x)=a^m>0
当0<a<1时，是减函数，则F(x)最值=F(m)最大值=a^5
当a>1时，是增减函数，则F(x)最值=F(m)最小值=a^5
当a=1时，F(x)=常数=1

注意:高一的函数到高二会学反函数, 统统解决....

Answer 4

知道

Answer 5

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