Question

已知点P在曲线y=x2-1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证

已知点P在曲线y=x2-1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x2的切线．（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积S与a无关．

Answer 1

（1）解：点P的坐标为（a，a²-1），
设切点Q的坐标为（x，x²），
由k_PQ=

a2?1?x2

a?x

及y′=2x知

a2?1?x2

a?x

=2x，
解得x=a+1或x=a-1．
所以所求的切线方程为2（a+1）x-y-（a+1）²=0或2（a-1）x-y-（a-1）²=0…（6分）
（2）证明：S=

∫

a a?1

[x²-2（a-1）x+（a-1）²]dx+

∫

a+1 a

[x²-2（a+1）x+（a+1）²]dx=

2

3

．
故所围成的图形面积S=

2

3

，此为与a无关的一个常数…（12分）