Question

已知函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，a∈R．（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若- 1 2 ≤a≤ 1

已知函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，a∈R．（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若- 1 2 ≤a≤ 1 2 ，求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x） 2 +|-x|+1=f（x）， 此时，f（x）为偶函数． 当a≠0时，f（a）=a 2 +1，f（-a）=a 2 +2|a|+1， f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此时，f（x）为非奇非偶函数． （2）当x≤a时， f（x）= x 2 -x+a+1=(x- 1 2 ) 2 +a+ 3 4 ∵ a≤ 1 2 ，故函数f（x）在（-∞，a]上单调递减． 从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a 2 +1 当x≥a时，函数 f(x)= x 2 +x-a+1=(x+ 1 2 ) 2 -a+ 3 4 ， ∵ a≥- 1 2 故函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a） =a 2 +1． 综上得，当- 1 2 ≤a≤ 1 2 时，函数f（x）的最小值为a 2 +1．