Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=2x-2经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=2x-2经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点．（1）求点A坐标；（2）若点P为x轴上一动点．点Q的坐标是（a，4a），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出a的值并写出点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．

Answer 1

（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y=2x-2上，
∴a=2a-2，
解得a=2，
∴A（2，2）

（2）连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，
则△APQ为等腰直角三角形．
∵∠OAB=∠PAQ=90°
∴∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△APO与△AQB中

OA=AB ∠OAP=∠BAQ AP=AQ

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠AOP=∠ABO=45°
∴QB⊥OB
∵A（2，2）
∴B（4，0）
∵Q点的坐标是（a，

4

a

），
∴a=4，
∴Q（4，1），


（3）在（2）的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，则D点的坐标为（-1，1），（5，3），（3，-1）．