Question

已知数列{an}，{bn}，满足a1=2，2an=1+2anan+1，bn=an-1（bn≠0）．（Ⅰ）求证数列{1bn}是等差数列，并求

已知数列{an}，{bn}，满足a1=2，2an=1+2anan+1，bn=an-1（bn≠0）．（Ⅰ）求证数列{1bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=bnbn+1，Sn为数列{Cn}的前n项和，求证：Sn＜1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵b_n=a_n-1，
∴a_n=b_n+1，
又2a_n=1+2a_na_n+1，
∴2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0，
∴

1

bn+1

?

1

bn

＝1（n∈N^*）
又

1

b1

＝

1

a1?1

＝

1

2?1

＝1，
∴{

1

bn

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

bn

＝1+(n?1)×1＝n，
∴bn＝

1

n

．
则an＝

1

n

+1＝

n+1

n

；
（Ⅱ）由C_n=b_nb_n+1，得：
Cn＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

．
∴S_n=C₁+C₂+…+C_n=(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)
=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

．
∵n∈N^*，
∴1?

1

n+1

＜1．
即S_n＜1成立．