Question

已知数列{an}时公差不为零的等差数列，a1=1，a1，a3，a9成等比数列，则数列{an?2an}的前n项和sn=______

已知数列{an}时公差不为零的等差数列，a1=1，a1，a3，a9成等比数列，则数列{an?2an}的前n项和sn=______．

Answer 1

∵a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a₁a₉=

a

2 3

，
即1+8d=（1+2d）²，
∴4d=4d²，
解得d=1，
∴a_n=1+n-1=n，an?2an=n?2ⁿ，
则s_n=1?2+2?2²+???+n?2ⁿ   ①，
2Sn＝1?22+2?23+???+n?2n+1，②，
两式相减得：
?Sn＝2+22+???+2n?n?2n+1＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝(1?n)?2n+1?2，
即Sn＝(n?1)?2n+1+2，
故答案为：（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．