Question

设函数f（x）是定义在R上的非常值函数，且对任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）证明：f（0）=1

设函数f（x）是定义在R上的非常值函数，且对任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）证明：f（0）=1；（2）设A={（x，y）|f（x2）f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+m）=1}，若f（x）在R上是单调增函数，且A∩B=?，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：
根据题意，在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=0得f（x）=f（x）?f（0），
又由f（x）不是常数，故f（0）=1；
（2）对于集合A={（x，y）|f（x²）f（y²）＜f（1）}，
由f（x+y）=f（x）f（y）可得f（x²+y²）＜f（1），
又由f（x）在R上是单调增函数，则x²+y²＜1，
可以看出集合A表示原点为圆心，1为半径的圆内部分（不包括边界），
对于集合B，由f（0）=1，
则f（x+y+m）=1?f（x+y+m）=f（0）?x+y+m=0，
集合B表示直线x+y+m=0，
若A∩B=?，即直线与圆没有交点，
即A∩B＝??

|0+0+m|

2

≥1．
解可得m≤-

2

或m≥

2

，
故m的取值范围是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．