Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：（1）D、B、F、E

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．

Answer 1

证明：（1）∵E、F分别为C₁D₁，B₁C₁的中点，
∴EF是△B₁C₁D₁的中位线，∴EF∥D₁B₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，
∴BB₁D₁D是平行四边形，
∴DB∥DB₁，∴EF∥D₁B₁，
∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，
∴EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交线，
∵A₁C交平面DBFE于R点，
∴R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一个公共点，
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
∴P、Q、R三点共线．