Question

已知两正数x，y满足x+y=1，则z＝(x+1x)(y+1y)的最小值为______

已知两正数x，y满足x+y=1，则z＝(x+1x)(y+1y)的最小值为______．

Answer 1

z＝(x+

1

x

)(y+

1

y

)=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

1

xy

+

(x+y)2?2xy

xy

=xy+

2

xy

-2，
令t=xy，则0＜t=xy≤(

x+y

2

)2＝

1

4

，（当且仅当x=y时取等号）．
由f（t）=t+

2

t

在（0，

1

4

]上单调递减，故当t=

1

4

时，f（t）=t+

2

t

有最小值

33

4

，从而
当且仅当x=y=

1

2

时，z有最小值为

25

4

．
故答案为：

25

4