Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点横坐标为1．（1）求直线l的方程及m的值；（2）若h（x）=f（x）-g'（x）（其中g'（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区是及最值．

Answer 1

（1）由题意可知直线l与函数f（x）=lnx相切于（1，0）．∵f′(x)＝

1

x

∴切线斜率k=f'（1）=1∴切线l的方程为y=x-1
又∵直线l与g(x)＝

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)相切．
即方程

1

2

x2+mx+

7

2

＝x?1有一个解．∴△＝(m?1)2?4?

1

2

?

9

2

＝0(m＜0)∴m=-2
（2）由（1）可知g(x)＝

1

2

x2?2x+

7

2

∴g'（x）=x-2，∴h(x)＝lnx?x+2(x＞0)∴h′(x)＝

1

x

?1
由h'（x）=0，得x=1，h'（x）及h（x）的变化如下表

故h（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），h（x）_max=h（1）=1，无最小值．