Question

（1）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?[1，4]，求实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式a(x?1)x?

（1）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?[1，4]，求实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式a(x?1)x?2＞1（a≠1）．

Answer 1

（1）设f（x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）
∵M?[1，4]有两种情况：
①M=?，此时△＜0；
当△＜0时，-1＜a＜2，M=??[1，4]；
②其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围
当△=0时，a=-1或2；
当a=-1时M={-1}?[1，4]；
当a=2时，m={2}?[1，4]．
当△＞0时，a＜-1或a＞2．
设方程f（x）=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，M?[1，4]
∴1≤x₁＜x₂≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即

?a+3≥0 18?7a≥0 1≤a≤4 a＜?1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

，
综上讨论知，当M?[1，4]时，a的取值范围是（-1，

18

7

]．

（2）原不等式可化为：

ax?x+2?a

x?2

＞0，
①当a＞1时，原不等式与（x-

a?2

a?1

）（x-2）＞0同解．
由于

a?2

a?1

＝1?

1

a?1

＜ 1＜2，
∴原不等式的解为（-∞，

a?2

a?1

）∪（2，+∞）．
②当a＜1时，原不等式与（x-

a?2

a?1

）（x-2）＜0同解．
由于

a?2

a?1

＝1?

1

a?1

，
若a＜0，

a?2

a?1

＝1?

1

a?1

＜2，解集为（

a?2

a?1

，2）；
若a=0时，

a?2

a?1

＝1?

1

a?1

＝2，解集为?；
若0＜a＜1，

a?2

a?1

＝1?

1

a?1

＞2，解集为（2，

a?2

a?1

，）．
综上所述：当a＞1时解集为（-∞，

a?2

a?1

）∪（2，+∞）；
当0＜a＜1时，解集为（2，

a?2

a?1

）；
当a=0时，解集为?；当a＜0时，解集为（

a?2

a?1

，2）．