Question

数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+n+1（n≥1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn

数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+n+1（n≥1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn}各项均为正数，满足b1+b2+b3=18，且a1+b1+2，a2+b2，a3+b3-3成等比数列，证明：1a2b2+1a3b3+…+1anbn＜16．

Answer 1

（1）由

an+1＝2Sn+n+1 an＝2Sn?1+n

，
得a_n+1=3a_n+n，n≥2，
∴a_n+1+

1

2

＝3(an+

1

2

)，（3分）
又a2+

1

2

＝4+

1

2

＝3(a1+

1

2

)也满足上式，
∴数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的等比数列．
∴an+

1

2

＝

3

2

×3n?1＝

3n

2

，
∴an＝

1

2

(3n?1)，(n∈N*)．
（2）∵等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，
依题意可得9-d，10，16+d成等比数例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴bn＝4n?2，(n∈N*)．（8分）
∴当n≥2时，

1

anbn

＝

1

(2n?1)(3n?1)

＜

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)．
∴

1

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