Question

【初二数学几何】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC与点D，交AB与点E，点F在DE的……

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC与点D，交AB与点E，点F在DE的延长线上，并且AF=CE
(1) 求证：四边形ACEF是平行四边形.
(2) 当角B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?请证明.
(3) 四边形ACEF可能是正方形吗?为什么?
图：https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%D2%C0%C1%B5_%CD%C3%E5%C7/pic/item/0fea2335201b67715ab5f5e8.jpg

Answer 1

(1)证明:∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE//AC
又 D是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
故E是AB的中点
从而CE=AE，又已知AF=CE，∴AE=AF
于是 ∠AEF=∠AFE。
延长CA到G
∵FE//GA，∴∠EFA=∠FAG
而显然∠FEA=∠BED=∠DEC=∠ECA
∴∠FAG=∠ECA，∴FA//EC
从而四边形ACEF是平行四边形
(2)∠B=30º时，四边形ACEF是菱形。
证明：∠B=30º 则 ∠CAE=60º
∵ EA=EC，∴△EAC是等边三角形
故 AC=EC，于是 ACEF是菱形
(3)不可能.
如果ACFE是正方形，则∠ACE=90º=∠ACB，于是E在CB上，与E在AB上矛盾，所以ACEF不可能是正方形。

Answer 2

（1）证明：因为DE垂直平分BC,所以DE‖AC,
所以E为AB中点（过一边中点平行以另一边的直线必经过第三边的中点）
所以AE=BE,
又因BE=CE（垂直平分线上的点导线短两端的距离相等），AF=CE,
所以AF=AE=CE,,所以∠F=∠AEF,∠CAE=∠ACE,所以∠EAF=∠AEC,
所以AF‖CE,所以四边形ACEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
（2）满足∠B=30度。证明如下：
因为∠B=30度，所以∠BAC=60度
又因AE=CE,所以△ACE为等边三角形（有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形）
所以AC=CE,所以四边形ACEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）
（3）不可能.因为当四边形ACEF是正方形时，∠ACE=90度，此时E在BC上，与原意不符，所以四边形ACEF不可能是正方形