Question

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．

Answer 1

50 0

根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案． 解：延长BA，作PF⊥BA，PN⊥BD，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA="PA," PM=PF ∴Rt△PFA≌Rt△PMA， ∴∠FAP=∠PAC=50°．

Answer 2

延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵
PA＝PA
PM＝PF
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．