Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N。 （1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN 2 =AM 2 +BN 2 ；（思路点拨：考虑MN 2 =AM 2 +BN 2 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了，请你完成证明过程。）（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN 2 =AM 2 +BN 2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）将△ACM沿直线CE对折，得△ ，连 则 有 又由 ，得 由 得 又 ∴ 有 ∴ ∴在 中，由勾股定理 得 即 。
（2）关系式 仍然成立 将 沿直线CE对折，得△ ，连 则 有 又由 ，得 由 得 又 ∴ 有 ， ∴ ∴在 中，由勾股定理 得 即 。