Question

已知函数f（x）=x 2 + （x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x

已知函数f（x）=x 2 + （x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，f（x）=x 2 对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），有f（﹣x）=（﹣x） 2 =x 2 =f（x）， ∴f（x）为偶函数． 当a≠0时，f（x）=x 2 +  （x≠0，常数a∈R）， 取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0， f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0， ∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1）． ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （2）设2≤x 1 ＜x 2 ， f（x 1 ）﹣f（x 2 ）=                               =  [x 1 x 2 （x 1 +x 2 ）﹣a]， 要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x 1 ）﹣f（x 2 ）＜0恒成立． ∵x 1 ﹣x 2 ＜0，x 1 x 2 ＞4，即a＜x 1 x 2 （x 1 +x 2 ）恒成立． 又∵x 1 +x 2 ＞4， ∴x 1 x 2 （x 1 +x 2 ）＞16， ∴a的取值范围是（﹣∞，16]．