Question

已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-4，4]（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-4，4]上是单调函数（2

已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-4，4]（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-4，4]上是单调函数（2）若函数f（x）（x∈R）的图象与直线y=-2无交点，求实数a的取值范围（3）若函数f（x）在[-4，4]上的最小值为-16，求a的值．

Answer 1

二次函数f（x）=x²+2ax+2的对称轴为x=-a，
（1）由于此函数在区间[-4，4]上是单调函数，
可得f（x）的对称轴落在区间[-4，4]外，
即-a≤-4或-a≥4，解得a≤-4或a≥4，
故a的取值范围是a≤-4或a≥4；
（2）若函数f（x）（x∈R）的图象与直线y=-2无交点，只需f（x）_min＞-2，
又由于二次函数f（x）=x²+2ax+2是开口向上的二次函数，
则f(x)min＝f(?a)＝?a2+2＞-2，解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围是-2＜a＜2；
（3）①当a≤-4时，
二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上是单调减函数，
则f（x）_min=f（4）=18+8a，解f（x）_min=-16得到 a＝?

17

4

②当-4＜a＜4时，二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上不是单调函数，
则f(x)min＝f(?a)＝?a2+2，解f（x）_min=-16得到 a＝±

18

（舍）
③当a≥4时，
二次函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-4，4]上是单调增函数，
则f（x）_min=f（-4）=18-8a，解f（x）_min=-16得到 a＝

17

4

综上可得 a＝±

17

4

．