Question

已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线

已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=f(e)?f(1)e?1．

Answer 1

（1）解：函数f（x）=x²+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+

1

x

），
f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，
则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）；
（2）解：①a=0时，f（x）=x²，因为x＞0，所以点（x，x²）在第一象限，
依题意，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0；
②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“?x＞0，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0”不成立；
③a＜0时，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜?(

1

x

+

1

x2

lnx)，
设g(x)＝?(

1

x

+

1

x2

lnx)，g′（x）=

x?1

x3

+

2lnx

x3

，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

则g（x）≥g（1）=-1，从而

1

a

＜?(

1

x

+

1

x2

lnx)＜?1，-1＜a＜0；
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0．
（3）证明：直接计算知

f(e)?f(1)

e?1

＝e+1+a+

a

e?1

，
设函数g（x）=f′（x）-

f(e)?f(1)

e?1

=2x-（e+1）+

a

x

-

a

e?1

，
g(1)＝1?e+a?

a

e?1

＝

a(e?2)?(e?1)2

e?1

，g(e)＝e?1+

a

e

?

a

e?1

＝

e(e?1)2?a

e(e?1)

，
当a＞e（e-1）²或a＜

(e?1)2

e?2

时，g(1)g(e)＝?

[a(e?2)?(e?1)2][a?e(e?1)2]

e(e?1)2

＜0，
因为y=g（x）的图象是一条连续不断的