Question

设z∈C，且|z-2|=2，z+4z∈R，求z

设z∈C，且|z-2|=2，z+4z∈R，求z．

Answer 1

设z=x+yi，（x，y∈R），则z-2═（x-2）+yi，
∴z+

4

z

=（x+yi）+

4

x+yi

=（x+

4x

x2+y2

）+（y-

4y

x2+y2

）i，
由已知条件z+

4

z

∈R，可得y-

4y

x2+y2

=0，∴y=0或x²+y²=4，
当y=0时，得z∈R，∴由|z-2|=2，解得z=4或z=0（舍去），
当x²+y²=4时，由|z-2|=2，得（x-2）²+y²=4，
∴

x＝1 y＝± 3

，z=1+

3

i或z=1-

3

i，
∴z=4或z=1±

3

i．

Answer 2

设z=x+yi，（x，y∈R），则z-2═（x-2）+yi，
∴z+

4

z

=（x+yi）+

4

x+yi

=（x+

4x

x2+y2

）+（y-

4y

x2+y2

）i，
由已知条件z+

4

z

∈R，可得y-

4y

x2+y2

=0，∴y=0或x²+y²=4，
当y=0时，得z∈R，∴由|z-2|=2，解得z=4或z=0（舍去），
当x²+y²=4时，由|z-2|=2，得（x-2）²+y²=4，
∴

x＝1 y＝± 3

，z=1+

3

i或z=1-

3

i，
∴z=4或z=1±

3

i．