(2014?安顺)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1

(2014?安顺)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3.与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中:①2... (2014?安顺)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3.与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中:①2a-b=0;②a+b+c>0;③c=-3a;④只有当a=12时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个.其中正确的结论是______.(只填序号) 展开
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女爵丶229
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解:①∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,
∴AB=4,
∴对称轴x=-
b
2a
=1,
即2a+b=0.
故①错误;

②根据图示知,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.
故②错误;

③∵A点坐标为(-1,0),
∴a-b+c=0,而b=-2a,
∴a+2a+c=0,即c=-3a.
故③正确;

④当a=
1
2
,则b=-1,c=-
3
2
,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,
∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2-x-
3
2

把x=1代入得y=
1
2
-1-
3
2
=-2,
∴D点坐标为(1,-2),
∴AE=2,BE=2,DE=2,
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,
∴△ADB为等腰直角三角形.
故④正确;

⑤要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵AO=1,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16-9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=-
7

与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=
7
3

同理当AB=AC=4时
∵AO=1,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16-1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=-
15

与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=
15
3

同理当AC=BC时
在△AOC中,AC2=1+c2
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无解.
经解方程组可知只有两个a值满足条件.
故⑤错误.
综上所述,正确的结论是③④.
故答案是:③④.
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