Question

已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（

已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（　　）A．[?32，3]B．[32，6]C．[3，12]D．[?32，12]

Answer 1

f'（x）=3x²+4bx+c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，
且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]
等价于f'（-2）≥0，f'（-1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为

12?8b+c≥0 3?4b+c≤0 3+4b+c≤0 12+8b+c≥0

（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
由题设知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
将z的值转化为直线z=2b-c在y轴上的截距，
当直线z=2b-c经过点（0，-3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b-c经过点C（0，-12）时，z最大，
最大值为：12．
故选C．