Question

已知函数f（x）=2cos2x+3sin2x，x∈R． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）图象上所

已知函数f（x）=2cos2x+3sin2x，x∈R． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移π3个单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）y=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=1+2sin（2x+

π

6

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

k∈Z，
∴函数的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）=1+2sin（x+

π

6

）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数g（x）=1+2sin（x-

π

3

+

π

6

）=1+2sin（x?

π

6

）的图象，
∴函数g（x）的解析式，g（x）=1+2sin（x?

π

6

）．
∵x∈[0，π]，x?

π

6

∈[?

π

6

，

5π

6