Question

已知函数f（x）=x4-4x3+ax2+1．（1）当a=4时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈R，f（x）≥2a

已知函数f（x）=x4-4x3+ax2+1．（1）当a=4时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈R，f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=4时，令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x=0或x=1或x=2，
∴由f′（x）＞0得出f（x）的单调增区间为（0，1），（2，+∞）；由f′（x）＜0得出f（x）的单调减区间为（-∞，0），（1，2）．
因此f（x）_极大=f（1）=2，f（x）_极小=f（0）=1，f（x）_极小=f（2）=1．
（2）由f（x）≥2ax-f'（x）恒成立，得x⁴-4x³+ax²+1≥2ax-（4x³-12x²+2ax），
即x⁴+（a-12）x²+1≥0恒成立，∴

12?a 2 ≤0 04+(a?12)?02+1≥0

或

12?a 2 ＞0 △＝(a?12)2?4≤0

，
解得a≥10．故a的取值范围为[10，+∞）．