Question

如图，△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，BG⊥AC于点G．（1）证明△ABD≌△ACD；（2）若DE⊥AB于点E，DF⊥A

如图，△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，BG⊥AC于点G．（1）证明△ABD≌△ACD；（2）若DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=3，求DF的长及BG的长．

Answer 1

（Ⅰ）假设数列{a_n}（a_n=-n²）存在等差基数列{b_n}，
且b_n=kn+b，（k，b是实常数），
则-n²≥kn+b对于任意的n∈N^*均成立，
即n²+kn+b≤0对于任意的n∈N^*均成立，
与二次函数的图象和性质相矛盾，
所以，假设不成立，
所以{a_n}不存在等差基数列．…（3分）
（Ⅱ）f（n）=a_n-b_n=n2?(2t?1)n+t2?

5

4

，
∵{b_n}是{a_n}的基数列，
∴f（n）≥0任意的n∈N^*均成立，
令 △＝(2t?1)2?4(t2?

5

4

)＝?4t+6
（1）当△≤0时，即：t≥

3

2

时，题设成立，
（2）当△＞0时，即：t＜

3

2

时，

2t?1

2

＜1，
即二次函数f（n）的对称轴在n=1的左端，
此时，题设成立的等价条件是f（1）≥0，
即：1?(2t?1)+t2?

5

4

≥0，
即t2?2t+

3

4

≥0，
解得t≤

1

2

或t≥

3

2

，
∴t≤

1

2

，
由（1）（2）可知，
t的取值范围是(?∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)． …（8分）
（Ⅲ）{b_n}是{a_n}的基数列?a_n≥b_n（n∈N^*）?1-e^-n≥

n

n+1

?（n+1）（1-e^-n）≥n?n+1≤eⁿ．
下面用数学归纳法证明n+1≤eⁿ：
①n=1时，1+1=2≤e，成立；
②假设n=k时，不等式成立，即k+1≤e^k，
则n=k+1时，k+1+1≤e^k+1＜e^k+1，不等式也成立，
由①，②得n+1≤eⁿ．
∴{b_n}是{a_n}的基数列．