Question

（2013?内江）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1

（2013?内江）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PBD；（2）求证：BC2=AB?BD；（3）若PA=6，PC=62，求BD的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
则BC平分∠PBD；

（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

CB

=

BC

BD

，即BC²=AB?BD；

（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，
∴PC²=PA?PB，即72=6PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB-PA=12-6=6，
∴OC=3，PO=PA+AO=9，
∵△OCP∽△BDP，
∴

OC

BD

=

OP

BP

，即

3

BD

=

9

12

，
则BD=4．