Question

设f（x）=2x+a2x-1（a为常数）（1）当a＜0时，证明f（x）在R上是增函数；（2）当a=0时，若函数y=g（x）的

设f（x）=2x+a2x-1（a为常数）（1）当a＜0时，证明f（x）在R上是增函数；（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

（1）当a＜0时，
在R上任取两个自变量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（₂）-f（x₁）=2x2+

a

2x2

?1-（2x1+

a

2x1

?1）
=（2x2-2x1）+

a(2x1?2x2)

2x1?2x2

．
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，2x2＞0，2x1＞0，2x1-2x2＜0．
又∵a＜0，
∴a（2x1-2x2）＞0，
∴f（₂）-f（x₁）＞0，
∴f（₂）＞f（x₁）．
∴当a＜0时，f（x）在R上是增函数．
（2）当a=0时，f（x）=2^x-1，
在y=f（x）的图象上任了一点p（x₀，y₀），
记点p（x₀，y₀）关于直线x=1对称的点为Q（x′，y′），
则有：

x0+x′＝2 y0＝y′

，
即

x0＝2?x′ y0＝y′

．
又∵y₀=2 x0-1，
∴y′=2^2-x′-1，
即y=2^2-x-1，
∴g（x）=2^2-x-1．