Question

计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2与z=1?x2?y2所围成的区域

计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2与z=1?x2?y2所围成的区域．

Answer 1

?

Ω

(x+z)dv=

?

Ω

xdv+

?

Ω

zdv，
因为Ω关于yOz平面对称，x是关于x的奇函数，
所以：

?

Ω

xdv=0，
对于 

?

Ω

zdv，利用柱坐标系将区域划为：
Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤

2

2

，r≤z≤

1?r2

}，
从而：
 

?

Ω

zdv=

∫

2π 0

dθ

∫

2 2 0

rdr

∫

1?r2 r

zdz=

∫

2π 0

dθ

∫

2 2 0

1

2

r(1?2r2)dr=

π

8

，
故答案为：

π

8

．